强化完全正当代表性：高效验证与计算
文章背景与核心概要
在基于赞成票的委员会选举中，完全正当代表性（Full Justified Representation, FJR）是最强的可满足比例公理之一。尽管先前的研究表明可以在多项式时间内识别出一个 FJR 委员会，但验证一个给定的委员会是否真正满足 FJR 仍然是一个 coNP 完全问题。为了克服这一计算障碍，本文引入了 FJR+，它是 FJR 和 EJR+ 的严格强化版本，不仅能够被高效验证，还能在多项式时间内得到满足。
本文的核心贡献包括分析了残余预算贪婪（RBG）算法，证明其选择的部分委员会的所有 \(k\) 大小补全均满足 FJR+；通过应用序贯弗拉格曼（Phragmén）方法获得了可定价的补全；成功推导出了 FJR+ 的德鲁普配额（Droop-quota）变体；并将其扩展到了具有任意项目成本的基于赞成票的参与式预算中。这些成果不仅在理论上解决了 FJR 验证难的问题，也为公平分配和委员会选举提供了更高效、可解释的计算工具。
Abstract Summary
Full Justified Representation (FJR) stands as one of the strongest satisfiable proportionality axioms within approval-based committee elections. Although prior research demonstrates that an FJR committee can be identified in polynomial time, validating whether a given committee actually satisfies FJR remains a coNP-complete problem.
全正当代表性（FJR）是基于赞成票的委员会选举中最强的可满足比例公理之一。尽管先前的研究表明可以在多项式时间内识别出一个 FJR 委员会，但验证一个给定的委员会是否真正满足 FJR 仍然是一个 coNP 完全问题。
To overcome this computational hurdle, this paper introduces FJR+, a strict strengthening of both FJR and EJR+ that can be both efficiently verified and satisfied in polynomial time.
为了克服这一计算障碍，本文引入了 FJR+，它是 FJR 和 EJR+ 的严格强化版本，能够被高效验证并在多项式时间内得到满足。
Key Contributions & Findings:
核心贡献与发现：
- The RBG Algorithm: The paper analyzes the Residual-Budget Greedy (RBG) algorithm, proving that it selects a partial committee such that every size-\(k\) completion satisfies FJR+.
- RBG 算法： 本文分析了残余预算贪婪（Residual-Budget Greedy, RBG）算法，证明其选择了一个部分委员会，使得任何大小为 \(k\) 的补全都能满足 FJR+。
- Priceability & Sub-Core Satisfaction: Leveraging this flexibility, the sequential Phragmén method is applied to obtain a priceable completion. The resulting rule consistently satisfies FJR+ and the sub-core, maintaining priceability whenever at least \(k\) candidates receive approval.
- 可定价性与子核心满足： 利用这种灵活性，应用序贯弗拉格曼（Phragmén）方法获得了可定价的补全。由此产生的规则始终满足 FJR+ 和子核心，并且只要至少有 \(k\) 名候选人获得赞成票，就能保持可定价性。
- Droop-Quota Version: The authors also successfully derive a Droop-quota variant of FJR+.
- 德鲁普配额版本： 作者还成功推导出了 FJR+ 的德鲁普配额（Droop-quota）变体。
- Participatory Budgeting Extension: FJR+ is extended to approval-based participatory budgeting featuring arbitrary project costs. A project-specific formulation of RBG computes this property efficiently in polynomial time, and it can be extended further to produce a priceable outcome satisfying a cost-based variant of the sub-core.
- 参与式预算扩展： FJR+ 被扩展到了具有任意项目成本的基于赞成票的参与式预算中。RBG 的项目特定公式可以在多项式时间内高效计算该属性，并且可以进一步扩展以产生满足基于成本的子核心变体的可定价结果。