文章背景与核心概要
层次分析法（AHP）是一种广泛应用于决策建模的方法，其核心建立在成对比较倒数矩阵的基础之上。传统的直接最小二乘法（DLS）虽然提供了一种无需复杂变换即可直观推导优先级向量的途径，但它存在一个明显的缺陷：会产生多解。在高不一致性水平（如循环矛盾）的情况下，这种非凸性会导致多个不同的全局极小值，从而使优先级排序变得不稳定，并严重依赖于算法的初始猜测值。
为了解决这一结构性局限，本文引入了锚定正则化直接最小二乘法（ARDLS）优化模型。ARDLS 将既有的优先级算子（包括归一化技术、特征向量法、奇异值分解、余弦最大化以及伪逆格拉姆矩阵）作为理论锚点融入正则化惩罚项中。这种整合系统性地打破了数学对称性，调整了优化曲面以确保收敛至单一且唯一的全局极小值。数值实验和模拟证实，ARDLS 在保持严格数学唯一性的同时，成功将既有优先级算子之间的均方根误差降至最低，使其成为跨领域 AHP 应用的理想替代方案。
锚定正则化直接最小二乘法（ARDLS）：整合既有优先级算子以实现层次分析法中的权重提取
Anchored Regularized Direct Least Squares (ARDLS): Integrating Established Prioritization Operators for Priority Elicitation in the Analytic Hierarchy Process
作者： Kevin Kam Fung Yuen
提交于： 2026年8月21日
主要学科： 优化与控制 (math.OC)
次要学科： 人工智能 (cs.AI)、数值分析 (math.NA)
ArXiv ID： arXiv:2608.21187
DOI： 10.48550/arXiv.2608.21187
摘要
层次分析法（AHP）是一种建立在成对倒数矩阵基础上的广泛使用的决策模型。传统的直接最小二乘法（DLS）虽然提供了一种无需复杂变换即可直观推导优先级向量的途径，但它存在一个重大缺陷：会产生多个解。在高不一致性水平（如循环矛盾）下，这种非凸性会导致多个不同的全局极小值，从而使优先级排序变得不稳定，并严重依赖于算法的初始猜测值。
为了解决这一结构性局限，本文引入了锚定正则化直接最小二乘法（ARDLS）优化模型。ARDLS 将既有的优先级算子（包括归一化技术、特征向量法、奇异值分解、余弦最大化以及伪逆格拉姆矩阵）作为理论锚点纳入正则化惩罚项中。这种整合系统性地打破了数学对称性，倾斜了优化曲面以保证收敛至单一、唯一的全局极小值。数值实验和模拟证实，ARDLS 在维持严格数学唯一性的同时，成功最小化了既有优先级算子之间的均方根误差，使其成为跨多样化领域的 AHP 应用的理想替代方案。
Summary
The Analytic Hierarchy Process (AHP) is a widely used decision-making model built upon pairwise reciprocal matrices. While the traditional Direct Least Squares (DLS) method provides an intuitive way to derive priority vectors without complex transformations, it suffers from a significant drawback: it yields multiple solutions. Under high levels of inconsistency—such as cyclic contradictions—this non-convexity results in multiple distinct global minima, making priority rankings unstable and heavily dependent on initial algorithmic guesses.
To address this structural limitation, this paper introduces the Anchored Regularized Direct Least Squares (ARDLS) optimization model. ARDLS incorporates established prioritization operators (including normalization techniques, the Eigenvector method, Singular Value Decomposition, Cosine Maximization, and the Pseudo-Inverse Gram Matrix) as theoretical anchors within a regularization penalty. This integration systematically breaks mathematical symmetries, tilting the optimization landscape to guarantee convergence toward a single, unique global minimum. Numerical experiments and simulations confirm that ARDLS successfully minimizes the root mean square error among established priority operators while maintaining strict mathematical uniqueness, positioning it as an ideal alternative for AHP applications across diverse domains.
关键细节
- 文档长度： 16 页，3 个表格，4 个图表
- MSC 分类： 90B50, 90C26, 90C25, 65K10
- ACM 分类： G.1.6; H.4.2; G.1.3
Key Details
- Document Length: 16 pages, 3 tables, 4 figures
- MSC Classes: 90B50, 90C26, 90C25, 65K10
- ACM Classes: G.1.6; H.4.2; G.1.3
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