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等变协方差张量：张量值几何学习中具有SPD保证的不确定性

文章背景与核心概要

在几何深度学习中，张量值预测（如惯性张量和介电张量）是一项基础任务，但针对此类输出的不确定性量化（UQ）长期以来仍是一个未解的挑战。尽管 \(E(3)\) 等变神经网络在点估计方面表现出色，但它们通常缺乏严格的置信度度量。本文提出了一种创新的不确定性量化框架，能够同时对均值和 \(6 \times 6\) 协方差矩阵保持旋转对称性的完整预测分布进行建模。

该方法通过将协方差分解为不可约表示，并应用从平坦李代数 \(\mathfrak{sym}(6)\) 到弯曲对称正定（SPD）流形的矩阵指数映射，在保持严格等变性的同时，确保了协方差矩阵的正定性。此外，本文引入了一种基于多元拉普拉斯分布的稳健替代损失函数——对数欧几里得等变评分目标（LE-ESO），以应对重尾误差并确保优化的稳定性。在 ModelNet40 惯性张量和 Materials Project 介电张量上的实验验证表明，该方法不仅具备极具竞争力的性能，还能提供物理一致、保持对称性的不确定性估计，并展现出优异的风险与分布外（OOD）敏感性。

摘要 (Abstract)

Tensor-valued prediction is fundamental to geometric deep learning, yet uncertainty quantification (UQ) for such outputs remains an open challenge. While \(E(3)\)-equivariant neural networks excel at point estimates, they lack rigorous confidence measures. We focus on symmetric rank-2 tensor prediction, where the target has six Kelvin--Mandel coordinates and full uncertainty is represented by a \(6 \times 6\) covariance matrix.

张量值预测是几何深度学习的基础，然而此类输出的不确定性量化（UQ）仍然是一个开放性挑战。尽管 \(E(3)\) 等变神经网络在点估计方面表现优异，但它们缺乏严格的置信度度量。我们专注于对称 2 阶张量预测，其中目标具有六个开尔文-曼德尔（Kelvin-Mandel）坐标，且完整的不确定性由一个 \(6 \times 6\) 的协方差矩阵表示。

We introduce a framework for \(E(3)\)-equivariant UQ, modeling the full predictive distribution where both mean and covariance preserve rotational symmetry. Our approach decomposes the covariance into irreducible representations \(\mathrm{Sym}^2(\rho_c) \cong 2\times(l=0) \oplus 2\times(l=2) \oplus 1\times(l=4)\). By mapping from the flat Lie algebra \(\mathfrak{sym}(6)\) to the curved SPD manifold via matrix exponentiation, we strictly ensure positive-definite covariances while maintaining exact equivariance.

我们引入了一个用于 \(E(3)\) 等变 UQ 的框架，对完整的预测分布进行建模，其中均值和协方差均保持旋转对称性。我们的方法将协方差分解为不可约表示 \(\mathrm{Sym}^2(\rho_c) \cong 2\times(l=0) \oplus 2\times(l=2) \oplus 1\times(l=4)\)。通过经由矩阵指数映射从平坦李代数 \(\mathfrak{sym}(6)\) 映射到弯曲的 SPD 流形，我们在保持精确等变性的同时，严格确保了协方差的正定性。

Furthermore, we formulate a Log-Euclidean Equivariant Scoring Objective (LE-ESO)—a robust surrogate loss based on the Multivariate Laplace distribution—providing robustness to heavy-tailed errors and stable optimization. Validation on ModelNet40 inertia tensors and Materials Project dielectric tensors demonstrates that our method achieves competitive performance and provides physically consistent, symmetry-preserving uncertainty estimates with useful risk and OOD sensitivity.

此外，我们构建了对数欧几里得等变评分目标（LE-ESO）——这是一种基于多元拉普拉斯分布的稳健替代损失函数——它对重尾误差具有鲁棒性并能确保稳定的优化。在 ModelNet40 惯性张量和 Materials Project 介电张量上的验证表明，该方法取得了具有竞争力的性能，并提供了物理一致、保持对称性的不确定性估计，同时具备有用的风险与 OOD 敏感性。

参考文献与元数据 (Metadata)

  • Title: Equivariant Covariance Tensors: Guaranteed SPD Uncertainty for Tensor-Valued Geometric Learning
  • Authors: Ruihan Liu, Yu Ji, Jianbo Yu, Shifu Yan, Qingchao Jiang
  • Submitted: August 25, 2026
  • Primary Subject: Machine Learning (cs.LG)
  • Other Subjects: Artificial Intelligence (cs.AI)
  • Comments: Accepted to ICML 2026
  • License: Creative Commons Attribution 4.0 International license icon