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文章背景与核心概要

随着科学计算和人工智能的深度融合，神经算子（Neural Operators）作为一种能够快速逼近无限维函数空间之间映射的代理模型，受到了广泛关注。然而，现有预测结果普遍缺乏可靠的不确定性量化（UQ），这在安全攸关的工程和科学应用中构成了巨大隐患。为此，Tom Stent 和 Nicolas Boullé 在本论文中开发了一个分裂保角框架（split conformal framework），旨在严格确保神经算子输出周围经过校准的逐点置信带，能够在评估域的至少 \(1 - \gamma\) 比例上包含真实解，并且在测试和校准输入上的概率至少为 \(1 - \alpha\)（其中 \(\alpha, \gamma \in (0,1)\)）。

该研究的核心贡献在于：首先通过将归一化残差场约简为其空间 \((1-\gamma)\)-分位数，并利用保留的校准数据集计算缩放因子，从而建立了一种高效的保角校准方法；其次，在理论上证明了定义在任意概率空间上的可测残差场的边际覆盖保证（涵盖连续域和固定离散化）；最后，通过达西流（Darcy flow）和纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）的数值实验验证了该方法，结果表明其校准产生的不确定性带在严格保持目标覆盖率的同时，比现有修正方法更加紧凑。

神经算子的保角不确定性量化保证

作者： Tom Stent, Nicolas Boullé
主要学科： 数值分析 (math.NA)
次要学科： 人工智能 (cs.AI)、概率论 (math.PR)
提交时间： 2026年8月28日
arXiv: 2608.28515 [math.NA]
DOI: 10.48550/arXiv.2608.28515

Authors: Tom Stent, Nicolas Boullé
Primary Subject: Numerical Analysis (math.NA)
Secondary Subjects: Artificial Intelligence (cs.AI), Probability (math.PR)
Submitted: 28 August 2026
arXiv: 2608.28515 [math.NA]
DOI: 10.48550/arXiv.2608.28515

📌 摘要与总结

神经算子为逼近函数空间之间的算子提供了快速的代理模型，但它们的预测往往缺乏不确定性量化。我们开发了一个分裂保角框架，以确保神经算子输出周围经校准的逐点置信带在评估域的至少 \(1-\gamma\) 比例上包含真实解，并且在测试和校准输入上的概率至少为 \(1-\alpha\)，其中 \(\alpha,\gamma\in(0,1)\)。我们的方法将归一化残差场约简为其空间 \((1-\gamma)\)-分位数，并使用留出的校准数据集计算缩放因子。我们证明了定义在任意概率空间上的可测残差场的边际覆盖保证，涵盖了连续域和固定离散化。在对数据分布的温和假设下，我们证明了条件于校准集的覆盖率服从贝塔分布，并通过达西流和纳维-斯托克斯方程的数值实验验证了这一点，其中我们的校准产生的置信带在保持目标覆盖率的同时，比现有修正方法更加紧凑。

📌 Summary

Neural operators provide fast surrogate models for approximating operators between infinite-dimensional function spaces, but their predictions frequently lack reliable uncertainty quantification. In this paper, Tom Stent and Nicolas Boullé develop a split conformal framework to ensure that a calibrated pointwise confidence band around a neural operator’s output contains the true solution on at least a \(1 - \gamma\) fraction of the evaluation domain, with a probability of at least \(1 - \alpha\) over test and calibration inputs (where \(\alpha, \gamma \in (0,1)\)).

Key Contributions:

  • Methodology: Reduces a normalized residual field to its spatial \((1-\gamma)\)-quantile and computes a scaling factor via a held-out calibration dataset.
  • Theoretical Guarantees: Proves marginal coverage guarantees for measurable residual fields defined on arbitrary probability spaces (covering both continuum domains and fixed discretizations). Under mild data distribution assumptions, the coverage conditional on the calibration set follows a Beta distribution.
  • Empirical Validation: Demonstrated on Darcy flow and Navier–Stokes equations, where the calibration yields uncertainty bands that are consistently tighter than existing corrections while strictly maintaining target coverage.

📋 摘要原文

神经算子为逼近函数空间之间的算子提供了快速的代理模型，但它们的预测通常缺乏不确定性量化。我们开发了一个分裂保角框架，以保证神经算子输出周围的校准逐点置信带在评估域的至少 \(1-\gamma\) 比例上包含真实解，并且在测试和校准输入上的概率至少为 \(1-\alpha\)，其中 \(\alpha,\gamma\in(0,1)\)。我们的方法将归一化残差场约简为其空间 \((1-\gamma)\)-分位数，并使用留出的校准数据集计算缩放因子。我们证明了定义在任意概率空间上的可测残差场的边际覆盖保证，涵盖了连续域和固定离散化。在对数据分布的温和假设下，我们证明了条件于校准集的覆盖率服从贝塔分布，并通过达西流和纳维--斯托克斯方程的数值实验进行了验证，其中我们的校准产生的置信带在保持目标覆盖率的同时，比现有修正方法更加紧凑。

📋 Abstract

Neural operators provide fast surrogate models for approximating operators between function spaces, but their predictions often lack uncertainty quantification. We develop a split conformal framework to guarantee that a calibrated pointwise band around the neural operator output contains the true solution on at least a \(1-\gamma\) fraction of the evaluation domain, with probability at least \(1-\alpha\) over test and calibration inputs, where \(\alpha,\gamma\in(0,1)\). Our method reduces a normalized residual field to its spatial \((1-\gamma)\)-quantile and computes a scaling factor using a held-out calibration dataset. We prove marginal coverage guarantees for measurable residual fields defined on arbitrary probability spaces, covering both continuum domains and fixed discretizations. Under mild assumptions on the data distribution, we show that the coverage conditional on the calibration set follows a Beta distribution, which we verify with numerical experiments on Darcy flow and Navier--Stokes equations, where our calibration yields bands consistently tighter than existing corrections while retaining the target coverage.

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